Задачка: странные аттракторы (очень краткий курс)
Придумал, а точнее — вспомнил. Есть в мире математики такие популярные вещи, как странные аттракторы. Это когда что-то там движется странно. Как известно, когда решаешь дифуру, то в простом случае получается что-то такое периодическое, или не совсем — ну, короче, что-то не странное. Поведение простого колебатора одно из трех: либо затухает, либо выходит на орбиту (тупо аппроксимирует к ней), либо вообще входит в резонанс (само с собой — одна часть уравнения с другой) и разрывает все к ежам, как говорится — "движущиеся части системы выходят из наблюдаемой области". Во втором случае колебатор называют осциллятором.
Ага, нету такого слова колебатор? Ну о’кей, считайте меня автором — с момента публикации у меня на это слово все права.
А потом обнаруживается, что некоторые системы колбасятся по непонятному закону — то есть не видно, где у него период. Одним из простых странных колебаторов является система, описываемая уравнением Дюффинга:
dx/dt=dfy, dy/dt = x-x3 — c*y + A*cos(w*t)
Как видите (ну, типа видите), тут в наличие источник суеты в виде какого-то внешнего колебатора A*cos(w*t) и "гальмо" (энергетическая утечка, в механике — трение) в виде -c*y и, плюс к этому, еще какая-то гадость, описывающая закон движения точки в пространстве в зависимости от времени. Есть несложная физическая интерпретация — но она нам сейчас без интереса. Хотите — почитайте здесь: .
Да, так вот, при некоторых параметрах получаем достаточно замысловатое движение. Странно ведут себя как координата x, так и скорость y. Вот как выглядит, например, жужжание хаотического шмеля.
Координата и скорость точки в хаотическом режиме
Для прикольности можно построить график зависимости x от y — красиво видно, как и куда сходится поведение системы с течением времени.
Скорость как функция координаты
Больше таких картинок вы можете увидеть на сайте, с которого было взято это изображение — линк в конце статьи. Я нарочно взял независимые результаты, чтобы потом сравнить их с собственными, тут никакой ошибки. Интерактивную версию можно посмотреть здесь: .
Есть еще вариант: отмечать на графике только точки в одной фазе колебатора возбуждения. Это именно и есть странный аттрактор. Там такой кисель смешной образуется — называется подковообразное преобразование. По этим картинкам определять странность вообще просто. Посмотреть на странный аттрактор "в натуре" в виде gif-анимации можно по адресу: www.sekine-lab.ei.tuat.ac.jp/~kanamaru/Chaos/e/Animation/duffing.html.
Что нас будет интересовать, это то, при каких параметрах проявляется странное поведение. Само поле параметров является слегка глючным: при одних параметрах проявляется странность аттрактора, при других (даже бесконечно близких) — как и не бывало, налицо отвратительная и нежелательная гармония. Вот и постараемся, по крайней мере графически, отобразить области, где странность проявляется, а также области, где таких странностей нет.
